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इस ब्लॉग टेम्प्लेट में गणित समीकरणों को पार्स करना और प्रदर्शित करना शामिल है। गणित को पार्स करना सक्षम है remark-math और rehype-katex. KaTeX और इसका संबंधित फ़ॉन्ट इसमें शामिल है _document.js इसलिए बेझिझक इसे किसी भी पृष्ठ पर उपयोग करें। ¹

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ओएलएस अनुमानक प्राप्त करना

मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करते हुए, मान लीजिए $n$ अवलोकनों की संख्या को दर्शाता है और $k$ रिग्रेसर्स की संख्या को दर्शाता है।

आउटकम चर का वेक्टर $\mathbf{Y}$ एक है $n \times 1$ मैट्रिक्स,

\mathbf{Y} = \left[\begin{array}
  {c}
  y_1 \\
  . \\
  . \\
  . \\
  y_n
\end{array}\right]

\mathbf{Y} = \left[\begin{array} {c} y_1 \\ . \\ . \\ . \\ y_n \end{array}\right]

रिग्रेसर्स का मैट्रिक्स $\mathbf{X}$ एक है $n \times k$ मैट्रिक्स (या प्रत्येक पंक्ति एक है $k \times 1$ वेक्टर),

\mathbf{X} = \left[\begin{array}
  {ccccc}
  x_{11} & . & . & . & x_{1k} \\
  . & . & . & . & .  \\
  . & . & . & . & .  \\
  . & . & . & . & .  \\
  x_{n1} & . & . & . & x_{nn}
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}
  {c}
  \mathbf{x}'_1 \\
  . \\
  . \\
  . \\
  \mathbf{x}'_n
\end{array}\right]

\mathbf{X} = \left[\begin{array} {ccccc} x_{11} & . & . & . & x_{1k} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ x_{n1} & . & . & . & x_{nn} \end{array}\right] = \left[\begin{array} {c} \mathbf{x}'_1 \\ . \\ . \\ . \\ \mathbf{x}'_n \end{array}\right]

त्रुटि पदों का सदिश $\mathbf{U}$ भी एक $n \times 1$ मैट्रिक्स है।

कभी-कभी सदिश संकेतन का उपयोग करना आसान हो सकता है। संगति के लिए, मैं सदिश को दर्शाने के लिए बोल्ड छोटे x का उपयोग करूंगा और मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए बड़े अक्षरों का उपयोग करूंगा। एकल अवलोकन उप-सूचकांक द्वारा दर्शाए जाते हैं।

न्यूनतम वर्ग

शुरू करें:
$y_i = \mathbf{x}'_i \beta + u_i$

धारणाएँ:

रैखिकता (ऊपर दी गई)
$E(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = 0$ (सशर्त स्वतंत्रता)
rank( $\mathbf{X}$ ) = $k$ (कोई बहुसंरेखता नहीं, अर्थात पूर्ण रैंक)
$Var(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = \sigma^2 I_n$ (समरूपता)

लक्ष्य:
खोजें $β$ जो त्रुटियों के वर्गों के योग को न्यूनतम करता है:

Q = \sum_{i=1}^{n}{u_i^2} = \sum_{i=1}^{n}{(y_i - \mathbf{x}'_i\beta)^2} = (Y-X\beta)'(Y-X\beta)

समाधान:
संकेत: $Q$ एक है $1 \times 1$ अदिश, समरूपता से $\frac{\partial b'Ab}{\partial b} = 2Ab$ .

इसके संबंध में मैट्रिक्स व्युत्पन्न लें $β$ :

\begin{संरेखित}
  \min Q           & = \min_{β} \mathbf{Y}'\mathbf{Y} - 2β'\mathbf{X}'\mathbf{Y} +
  β'\mathbf{X}'\mathbf{X}β \\
                   & = \min_{β} - 2β'\mathbf{X}'\mathbf{Y} + β'\mathbf{X}'\mathbf{X}β \\
  \text{[FOC]}~~~0 & =  - 2\mathbf{X}'\mathbf{Y} + 2\mathbf{X}'\mathbf{X}\hat{β}                  \\
  \hat{β}      & = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y}                              \\
                   & = (\sum^{n} \mathbf{x}_i \mathbf{x}'_i)^{-1} \sum^{n} \mathbf{x}_i y_i
\end{संरेखित}

\begin{aligned} \min Q & = \min_{\beta} \mathbf{Y}'\mathbf{Y} - 2\beta'\mathbf{X}'\mathbf{Y} + \beta'\mathbf{X}'\mathbf{X}\beta \\ & = \min_{\beta} - 2\beta'\mathbf{X}'\mathbf{Y} + \beta'\mathbf{X}'\mathbf{X}\beta \\ \text{[FOC]}~~~0 & = - 2\mathbf{X}'\mathbf{Y} + 2\mathbf{X}'\mathbf{X}\hat{\beta} \\ \hat{\beta} & = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y} \\ & = (\sum^{n} \mathbf{x}_i \mathbf{x}'_i)^{-1} \sum^{n} \mathbf{x}_i y_i \end{aligned}

फुटनोट्स

समर्थित TeX फ़ंक्शंस की पूरी सूची के लिए, देखें KaTeX दस्तावेज़ीकरण ↩
$10 और $20। ↩